我们知道，在数学教学过程中，有不少学生通过数学学习，形成了一些不正确的数学观，这些观念又反过来对数学学习产生了严重的消极影响，而新的学习活动的失败反过来又进一步强化了原先的错误观念，从而就形成了一个恶性循环，造成这种状况的原因是多方面的，其中最主要的，我认为是教师的数学观，毕竟教师是课堂环境的主要“制造者”，他们的数学观念将直接影响到他从事数学研究的方式，同样，一个数学教师的数学观也会在他的教学过程中体现出来，并最终影响到学生数学观的形成，因为，数学课堂本质上是一个环境，也就是数学观是可以教的。下面这个案例既是研究性学习的一个较好的课例，也充分说明教师的数学观对教学的指导作用，在本例中教师把数学看成是一个充满了联系的统一的整体，在解题教学中执著于寻求统一，执著于发现那些似乎彼此孤立的结论之间的联系，从而将正确的数学观传授给学生。
1、一个简单问题
例1、张明要用一张正方形硬纸板制成一个无盖的盒子，他打算从四个角上各剪去一个正方形，那么怎样剪，能使做成的盒子容积最大？
先从极端情形入手，教师问：如果剪去的小正方形太小或太大，制成的盒子会怎样？能不能使容积最大？
学生：会很浅很阔或很细很高，都不能使容积最大。
学生容易想到，小正方形的边长变化，盒子的容积也在变，容积是小正方形边长的函数，因此，设正方形纸片的边长为a，剪去的小正方形的边长为x.
如图1，则制成的盒子的容积可表示为：
V(x) = (a – 2x)2x，x∈（0， ）
利用算术——几何平均不等式求最值.
V(x) = (a-2x) 24x≤ × =
到此本题似乎已经结束，但这位教师却没有到此为止，而是按照波利亚的解题思想，引导学生进行解题后反思，教师问：看着这个问题，你能将这个问题推广吗？你能提出一个类似的问题吗？
一会儿，学生纷纷举手，学生1：如果是长方形纸片，怎样剪容积最大？学生2：如果是正三角形纸片、正五边形纸片，或者正n边形纸片，怎样剪容积最大？最大容积是多少？学生3：如果制成有盖的盒子，怎样剪容积最大？……教师暗自高兴，善于提出问题，是解决问题的重要组成部分。学生已经习惯于将问题的重要组成部分、学生已经习惯于将问题一般化和特殊化，从而提出新的问题。教师：大家的问题很好，这些问题可以课下进行探索，课堂上我们尝试解一下较简单的情形，一正三角形的情况：
2、一个衍生的问题
例2、用正三角形纸片制成一个无盖的盒子，怎样做容积最大？
如图2、容易求得容积
V(x) = x· （a – 2x· ）2 x∈（0， ）
同样利用不等法求出当x = 时，体积最大，
最大容积为 .
3、一种数学观——数学是统一的
提出的问题得到解决，下一步再做介绍解题后的反思是非常重要的一个环节，由一个简单问题能引出一串问题，而且结果都很漂亮，师生此时都很漂亮，师生此时都感到颇有收获，比如，1：有的教师可能会结束解题，有的也许会进一步解决其他正多边形时的，但这位教师从另一个角度进行启发：你们能否发现这两个结论之间的内在联系？有没有一致的结论？这种在正确数学观念指导下的反思体现了解题者对统一性的追求，使原本结束的解题过程豁然进入到另一个更高的境界。
一会儿，学生陆续有了发现，学生1：剪下的都是全等的四边形，学生2：制成的盒子侧面都是矩形，底面是和原多边形相似的图形，学生3：我通过计算，发现剪下的小四边形的边长都等于原边长的六分之一。
例1中，小正方形的边长x = a，a为正方形纸片的边长。
例2中，小四边形的一边长 x = · = ，a为正三角形纸片的边长。
这个隐藏在四个结果中的一致性结论，给人以统一和谐之美，也给实际制作盒子提供了具体的操作方案，边长的 处为裁剪点。
学生沉浸在发现的愉悦中，教师提出了另一个出人意料的问题：假如这样形状的一个盒子已经制成，你怎样才能知道容积是否最大？稍加思考学生发现，对正方形的盒子，可以测量盒子的高和底面边长，当高与底面边长的比是1：4时，能达到最大容积；对正三角形的盒子，高与底面边长大约是 ：12时，容积最大，这两个结果不令人满意，有没有一个统一的结果？
经过搜索，学生们有了发现，教师将其板书如下：
例1中盒子的底面积为S底 = ( )2 = a2，盒子的侧面积为S侧 = 4× × a = a2，即有S底= S侧.
例2中，体积最大时，x = ，S底 = S侧 = .
这说明，要知道盒子是否达到了最大的容积，必须通过测量的计算，看侧面积与底面积是否相等即可，相等即是达到了容积最大，虽然测量和计算麻烦些，但却有一个简单“统一”的结论。
另一种数学观——数学在“变”中统一
近年高考题在变换结构中出新题，已成为特征之一，所以为了学生能够适应这些新题型，我们在平常的教学中就必须加强相关题型的变式训练。“变”实际上就是转化，变的目的，就是因材施教，让不同的学生在数学上有不同的发展，新课改下我们也要求加强“变式教学”，但无论怎么变，我们仍然要了解新题型还都是由传统的题型变换而来的，这些新题型的解题方法都源于基础知识而和基本技能的运用，教学在“变”中统一，在“变”中提高，我们必须在统一的思想，通过训练，使学生能够以静制动，以不变应万变，不断创新思路，积累经验，下面我们看一个例子：
已知sinA＞sinB，你能判定A与B的大小关系吗？
答案：A与B的大小不能确定，举2个例子即可
若A=60°，B=150°
则sinA＞sinB，A＜B
若A=60°，B=30°
则sinA＜sinB
变式一，已知△ABC中，sinA＞sinB，能不能判定A与B的关系呢？
答案：能，我们用正弦定理就可以解决这个问题
a b c
= = =2R
sinA sinB sinC
a
sinA=
2R
所以 b a b
sinB= ＞ a＞b
2R 2R 2R
sinA＞sinB
在△ABC中大边对大角，则A＞B
变式二：已知在△ABC中，cosA＞cosB，能不能判定A与△的大小关系呢？
答案仍然是能 解题过程为：因为A ∈（0、π），B∈（0、π）
y = cosx
当x ∈（0、π）为减涵数，如右图
因为sinA＞cosB，所以A＜B
这个解三角形题目经过两次变化，但统一
是考察的与三角形有关的问题，也就是在
解三解形时，我们同时延伸到三角函数的
单调性问题，使思维得到了一个提升，如果能经常进行这样的训练，那么，我们的学生一定可以逐步提高解题能力，并能形成统一整体的数学观。
通过上面四个方面的分析，我们要使学生明白结论的获得正由于我们对数学统一性的执着，数学过程也就是向学生传授这样的一种数学观。
