浙江师范大学547信箱（321004） 蔡妙才
摘 要：新课程改革强调培养学生进行自主探究的能力。在高中数学教学中，数学建模是培养学生探究性学习能力的一个重要途径。本文从加强中学数学建模的重要性入手，着重阐述了开展中学数学建模的重要意义、开展数学建模的一般过程、中学数学教学中如何开展中学数学建模，并对中学数学建模教学作了初步的探讨与思考，并也对中学数学建模的前景做了展望。
关键词：数学建模；中学数学；模型；思维；能力
数学家像画家和诗人一样，是模式制造家。
————G.H.哈代
一、开展中学数学建模的重要意义
在近几届国际数学教育大会中，“问题解决、模型化和应用”被列入了几个主要的研究问题之一。其课题报告中明确指出：“问题解决、模型化和应用必须成为从中学到大学所有的数学课程的一部分。”在我国普通高中《数学课程标准（实验）》中提出“数学研究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中，高中阶段至少各应安排一次较为完整的数学研究数学建模活动”。
马克思曾经说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。”可以认为数学在各门科学中被应用的水平，标志着这门科学发展的水平，随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济活动到社会生活的各个领域，从伊拉克战争可以看出，高科技是保持国家竞争力的关键因素，原美国数学的现状和未来委员会主席E.E.David说得好：“高科技本质上是数学技术。”这句话把数学对高新技术的作用，从而对国富民强的作用，清楚的表达了出来。
一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节。
智力的核心是思维，有思则明，明则通，通则能应变。中学数学教学大纲指出：数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心。数学教学中如何使学生很好的掌握基础知识和基本技能，提高灵活运用知识的能力，关键在于狠抓思维的启发、诱导、训练和发展。
随着当前社会经济迅猛发展，以及面向生活、面向大众的国际教育浪潮的冲击，中学教学开始数学应用的教育和训练，这在全国高考和各地中考试题中都有明显体现。我们的目的是培养学生的创造能力和应用能力，把学生从纯理论解题的题海中解放出来，把学生应用数学的意识培养贯穿于教学的始终，让学生学得活泼生动，使数学素质教育跃上一个新的台阶。同时也为了适应21世纪数学课程改革中加强应用性、创新性，重视联系学生生活实际和社会实践的要求，我们提倡开展中学数学建模教学的研究和实践。
无论是数学研究，还是数学学习，其目的之一是将数学运用于社会，服务于社会。而运用数学解决实际问题是通过数学模型这个桥梁来实现的。美国数学学会主席D.L.伯恩斯在1978年指出：“人们可以从现实世界中的问题出发，直接通过观察或实验，从而获得现实世界的解，但是这样做往往是行不通的，或者由于花费昂贵只好作罢，所以制胜的办法就是通过数学模型，走一条迂回的道路。”
用数学方法解决某些实际问题，通常先把实际问题抽象成数学模型。所谓数学模型，是指从整体上描述现实原型的特性、关系及其规律的一种数学方程式。按广义的解释，凡一切数学概念，数学理论体系，各种数学公式，各种方程（代数方程、函数方程、差分方程、微分方程、积分方程）以及由公式系列构成的算法系统都称之为模型。但按狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，才叫数学模型，而构造模型的目的是为了解决实际问题，数学模型是建立在模型和原型的数学形式相似的基础上的。
培养学生思维的广阔性、灵活性，善于多方向，多角度地思考问题，并筛选出最好办法，对学生形成积极的思维定势和克服消极的思维定势将产生重要作用。“数学模型方法”（mathematical modelling method 简称MM方法）不仅是处理数学理论问题的一种经典方法，而且也是处理科技领域中各种实际数学问题的一般数学方法.数学模型方法的学习与掌握、运用与深化，一般是按模型模仿——模型转换——模型构建的主线发展的，而这也符合“具体——抽象——具体”的认识规律。
二、数学建模的内涵和外延
2．1 什么是数学模型
数学模型是对于现实世界的一个特定的对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2．1．1 从广义上说，数学模型是从现实世界抽象出来的，是对客观事物的某些属性的一个近似反映。例如：数学中的各种概念、公式、方程式、理论体系及算法系统等，因为它们都是现实世界的原型抽象出来的，因而它们都是现实世界的数学模型。
2．1．2 从狭义上说，只有反映特定问题或特定的具体事物系统的数学结构才叫数学模型。
在应用数学中，数学模型一般指狭义的理解，目的在于解决具体的实际问题。例如：美国经济学家James Tobin建立了“投资决策的数学模型”，为此他获得了1981年的诺贝尔经济学奖。中国科学院应用数学所周子康等完成的“中国地方政府编制管理定量分析的研究”，建立了编制与相关因素分析模型等五组数学模型，构成了同级地方政府编制管理辅助决策分析体系，使编制管理科学化现代化等等。
2．2 中国古代数学与今天的数学建模
纵观中国的数学史，大部分古代数学经典著作都以问题集形式出现，依据的方法或类型分成章节，每个问题分成若干条目：条目一是“问”，提出具体问题；条目二是“答”，给出问题的数值答案；条目三是“术”，讨论解与条目同类问题的普通算法，有时相当于一个公式或定理；条目四是“注”，偶说明“术”的理由实质上是给出了一种证明或佐证。古代数学书的写法与今天数学建模的叙述十分相似，可以说，我国古代的《九章算术》（约成书于1世纪）是一本最早的数学建模专著，这本书收集了246个应用题，分别隶属方田、粟米、差分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九章。当然由于时代的不同，今天数学建模关注的问题与古代经典数学著作所记述的问题已经已经有了很大的变化。
三 、数学建模的一般过程
在这以哥尼斯堡城七桥问题这一经典实例说明应用数学抽象方法建立数学模型的一般过程。
18世纪在哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸联结，如图1所示。岛上有一所古老的哥尼斯堡城大学。据说，每天傍晚时分，这所大学的学生们总要散步于这七座大桥之间，当时有人提出：能否在一次散步中把每座桥都走一次且只走一次，最后又回到原来的位置。这个问题吸引了不少人去思考和实验，但都没有成功。于是大学生们把这个问题请大数学家欧拉（Euler,1707—1783）去解决。欧拉从众多人的失败中想到，这样的走法可能根本就不存在，并出色地证明了自己的猜想是正确的，且于1736年发表了作为拓扑学和现代图论发端的第一篇论文——《哥尼斯堡城七桥》。 图1
欧拉的思路是：既然两个岛与两处陆地是桥粱的连接地点，不妨将其理想化，把岛与陆地抽象成四个点，并把七座桥抽象成七条线（如图2）。这样桥与陆地的结构关系，正是对所要解决问题的本质特征的数学抽象。于是，一次无重复地走完七座桥问题就等价于一笔画如图2的几何图形，这就是哥尼斯堡城七桥问题的数学模型。欧拉认为任何一笔画图形要么没有奇点（即通过该点的曲线有奇数条），要么有两个奇点（起点和终点），而此模型中有四个奇点，故可断言，它不是一笔画图形，也就是说，要想一次走完七座桥而且每座桥只过一次是不可能的。 图2
从此例可以看出，应用数学抽象方法建立数学模型的一般过程如下：
首先，要明确问题，尽量掌握对象的性质特点，确定选用哪一类数学模型，如七桥问题的数学模型是一个图论模型。如果相应的领域还没有现成的规律可供使用，或者虽有但还不够用，那就要自己去观察，去探索。
第二，要剔除非本质属性，抓住主要矛盾。如七桥问题中，岛与陆地的形状 大小 桥的宽窄 长短 曲直等都是非本质属性。点及连接点的线才是主要矛盾。
第三，进行数学抽象。例如七桥问题中，既然岛与陆地只是桥梁的连接点，就可把岛与陆地抽象为四个点，七座桥抽象为七条线。人们试图一次无重复地走完七座桥的问题被抽象为了一笔画如图2的几何图形问题。
四、中学数学教学与中学数学建模
4．1 整个中学数学可视为一个数学模型
中学数学内容包括初等代数、初等几何、平面三角、初等微积分、概率统计初步，逻辑与计算机初步等，它们都是数学模型。其中有的模型又包括一些子模型。例如二次方程这个数学模型就是初等代数模型的一个子模型。
4．2 中学数学的教学就是模型的教学
在数学模型方法指导下的数学教学，要重视对现实原型的分析和抽象，特别是获得数学概念、基本关系、公式、定理，建立起相应的数学模型时，应力求给出（有时需要设计出）一个恰当的典型的原型展现给学生。
4．3 中学数学建模产生的历史背景
数学建模是数学学习的一种新的方式，产生有一定的背景和条件，分析其原因有：
（1） 社会上对造成学生应用意识淡薄、应用能力低下的数学现状感到不满。
（2） 学生学习数学的兴趣不大，缺少学习的主动性。
（3） 数学应用范围的不断扩展，迫切要求数学教育作出反应。
（4） 计算机在高速、智能、小型、价廉四个方面迅速发展，为数学建模教学提供了物质基础和可能性。
4．4 中学数学建模教学的困难
中学常规教学中数学建模教学还刚起步，有许多问题有待探讨，还有一些认识问题和技术上的困难，如：
（1） 中学数学课程内容多，学时少，完成教学计划尚不十分从容，还要应付会考高考，没有时间搞数学建模。
（2） 能适合中学生水平能结合课本教学内容的建模不多，使得有心尝试者有“巧妇难为无米之炊”的感觉。
（3） 在教学第一线的教师常常有较重教学负担，他们对正常教学内容比较熟悉，课外内容相对陌生，而建模步骤中不仅要求有相应的数学知识，还有涉及非数学领域的知识，除了数学方法和物理方法外，还经常需要计算机进行模拟、试算、检验等，这不仅对学生，而且对教师都会遇到知识或方法上的困难。
4．5 数学建模教学的原则
数学建模教学过程应反映数学教育发展改革的方向，所以应注意以下几点：
（1） 着重发展学生的数学能力，特别是数学应用能力，强调数学知识的积累，善于将现实问题理想化、简单化，提高观察与理解实际问题的能力，丰富想象力和发展创造性思维。
（2） 兴趣是学习的动力，要努力培养学生对数学建模的兴趣，强调学生的主动参与，把教学过程变成学生自觉活动的过程。
（3） 鼓励学生使用计算工具（计算机和计数器），改善学生的学习方式，培养创新精神和实践能力。
（4） 注意结合学生的实际水平，分层次逐步地推进。
（5） 结合正常的课堂教学和教材内容，在部分环节上切入数学建模内容。
（6） 注意数学建模的活动性，挖掘数学建模的教育功能，包括德育功能。
（7） 注意培养学生协同作战的团队精神。
数学建模是数学学习一种新的方式，顺应了当前素质教育和教学改革的需要，为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的关系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。数学建模的学习和实践活动培养了学生的形象思维能力，为学生的个性发展和创造力的发展提供了极好的场景，帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学。
虽然数学建模已成为国际数学教育中稳定的内容和热点之一，但国内中学的数学建模活动才起步，在内容形式 范围和与课堂教学内容真正意义上的结合上，还有不少问题有待探索。怎样结合我国数学教育的优势和传统文化，发挥数学建模在数学素质教育中的作用，还有保持我们扎扎实实的努力和创造性的工作。
五、中学数学建模思路设想与问题思考
1. 加强数学基本能力训练
学生建模能力的形成是基础知识、基本技能、基本数学方法培养的一种综合效果，日常教学的基础知识学习对形成建模能力起着奠基作用.然而反过来，只学习应用题建模，忽视系统的理论学习，最终的效果只能是应用题解题教学，并不利于学生数学素质的全面提高.因此在中学普及建模知识，一定要在系统知识学习的基础上进行。
2. 学习传统基本模型，触类旁通
七桥问题与中国邮路问题，单色三角形模型，抛物模型，细菌繁殖模型等都有重要的数学教育价值，特别是依据这些模型为背景简化编拟数学竞赛题的讲解，是学习传统基本模型的很好形式。
3． 结合教学内容，构造实际模型
许多抽象的数学量，数学思想可以在现实中找到它们的原型，具有相反意义的量可以作为正、负数的模型，探照灯、手电筒的光束可以作为射线的原型；直的铁轨、麦垅可以看作平行线的原型等等.只要我们充分挖掘教学内容与实际应用之间的联系，构造数学问题的实际模型，才能进一步提高学生的数学建模能力。
4. 联系实际生活，引导学生建立一些简单的数学模型
日常生活是应用问题的源泉之一，现实生活中有许多问题可通过建立中学数学模型加以解决，如合理负担出租车资金、家庭日用电量的计算、红绿灯管制的设计、登楼方案、住房问题等，都可利用数学基础知识，建立初等数学模型，加以解决。
我们的国家大事、社会热点、市场经济涉及诸如成本、利润、储蓄、保险、投标及股份制等，是中学数学建模的好素材，适当的选取，融入教学活动中，使学生掌握相应类型的建模方法，不仅可以使学生树立正确的商品经济意识，而且还为日后主动以数学的观念、方法、手段处理问题提供了能力上的准备.
5. 从其它学科中选择应用题，培养学生应用数学工具的能力。
中学所涉及的数学模型主要包括了函数、方程、不等式、三角、二次曲线、多面体、旋转体、集合、排列组合等概念.中学数学建模的内容相当丰富，有利息、增长率、环境保护、规划、经济图表、市场预测、供求与存贮等问题，以及物理、化学、生物、医学、人口、生命科学等学科方面的问题。我们可以从这些学科应用题中选取合适的例子，通过分析、联想、转化、抽象、构建模型，使问题数学化。
六、 中学数学建模的前景与展望
数学以其高度的抽象性、严密的逻辑性以及广泛的应用性，渗透于科学技术以及实际生产、生活的各个领域.90年代初，我国教育界提出了“素质教育”的号召，素质教育要求数学坚持理论实际，教会学生把数学知识运用到实际当中去，分析、解决力所能及的实际问题.建模能力是解题者对各种能力的综合应用，它涉及文字理解能力，对实际的熟悉程度，对相关知识的掌握程度，良好的心理素质，创新精神和创造能力，以及观察、分析、综合、比较、概括等各种科学思维方法的综合应用。
中学数学建模具有广阔的美好的发展前景，我们的建模教学不应拘泥于形式，受缚于教条。我们应密切关注现实生活，密切结合课本，改变原题，将知识重新分解组合、综合拓广，使之成为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息的问题，这对培养学生思维的灵活性、敏捷性、深刻性、广阔性、创造性是大有益处的。
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