高二数学优秀生与学困生的解题策略比较研究
学 校 麻栗坡民族中学 姓 名 冉正强
摘要： 本文用十个数学题对高二数学优秀生和学困生调查测试，发现两类学生的解题策略存在很大差异；导致学困生与优秀生的解题策略差异，主要体现为学困生在解题思维过程中的以下薄弱环节：（1）基础知识不扎实，知识断链；（2）陈述性知识的欠缺；（3）思维缺乏灵活性和广阔性；（4）欠缺良好的解题元认知水平。 针对学困生问题解决中的缺陷，可以从以下几个方面去提高学困生的解题能力：（1）疏导学困生对数学题的恐惧心理；（2）应用波利亚“提示语”培养解题的元认知能力，提高解题能力；（3）培养学困生良好的思维品质；（4）加强两类学生的学习交流，让学困生吸起和借鉴优生的学习优点。
关键词：数学优秀生，数学学困生，解题策略，比较。
1、问题提出
数学是研究现实空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学具有逻辑推理的严密性，高度的抽象性和应用的广泛性三大特点，它决定了人们学习数学的难度性。再是现在的学校教育，课堂教学也正由传统的"应试教育向"素质教育"转轨。 正是数学学习的难度性，大多数学生数学数素不高，数学学习成绩上不去，尤其是在九年义务教育基础之上的高中数学学习，各班级中数学学习成绩呈两极分化为普遍现象。特别是在经济发展滞后，学习条件艰苦的少数民族边疆地区，数学学困生更是大面积存在，数学优秀生也不突出。而数学新课程，又面临即将在边疆地区铺开实施，现在我们教师面临迫切需解决的重要课题是：如何通过素质教育的主渠道，大面积提高学生的数学学习兴趣与解题能力，使整体学生的数学素质得以提高，确保数学新课程的顺利推进实施。所以比较高中数学优秀生与学困生的解题策略，找准两类学生差距及学困生解题中的思维缺陷，为数学教师具有针对性，因地制宜地改变教学方法，做好学困转化，提高整体高中学生的数学素质具有重要的意义。
2、学困生的界定
对于学困生的界定，教育前辈们也作了不少努力，其中 杜玉祥先生以学困生的智力，非智力方面的人格特征外部表现为依据，采取定性与定量相结合对学困生作了界定。除此之外，重庆第八中学的陶兴模老师也对高中阶段的数学学困生作了界定。[1]
根据上述学困生的界定方法，结合学校条件，笔者认为对学困生作如下界定也较方便、合理。
（1）首先把数学考试成绩按下式求出：
J=（0.6×a1+0.4×a2）×0.4 (1)
a1为高中入学成绩，a2为高一学年末考试成绩（初中知识断链太多，难以转化，但自己入高中后提前醒悟，刻苦努力，下定决心学好高中数学的同时，自行补救好初中基础知识，也有希望学好数学，所以入学成绩占总成绩的60%，高一学年末成绩占总成绩的40%）。
（2）其次，把智力测量的成绩如下加权：
K=（0.6×T+0.4×N）×0.6 （2）
T为瑞文测量表推理测验的标准分×100；N为数学能力测量实际分（按百分制）（智力因素存在明显差异者难以转化，而有数学爱好、数学能力的学生也有学好数学的希望，所以在智力测量项中，智力占总项的60%，数学能力占总项的40%）。
由于智力存在明显的差异，要比数学基础差的学生难以转化些，所以（1）式中成绩总项占40%，（2）式中智力总项占60%。
对班里第i个学生的数学成绩记作Ki，智力成绩记作ji并记第i个学生的综合分数为xi=ki+ji
对全班的综合分数从高到低排序：x1.＞x2＞x3…＞xp
根据在班里，优生占少数，学困生也占少数，中等生居多，根据正态分布原理，从后取前10%左右即为实验学困生，相应取前10%作为实验优秀生。
3、优秀生与学困生解题策略比较研究的设计
3.1研究目的
应用波利亚解题理论分析两类学生的解题策略，提出促进优生更优，提高学困生分析、解决数学问题能力方法和建议。
3.2研究方法
3.2.1 样本
在笔者担任数学教学的2006届高二1班46人中根据上述方法选取研究对象。通过对整班学生中的学困生的界定，选取出4名优秀生和4名学困生。
3.2.2 测试题
确保两类学生解题策略的可比性，测试题要具有一定的信度和效度。为了确保试题的信度和效度，测试题均从高考试题、课本教材中选取编拟。
本测试题共10道题，根据整个高中数学知识点比例分布，代数题6题（含应用题1题），平面几何题2题，立体几何题2题，。
3.2.3 测试过程
为了避免同学们的抄袭，合作讨论；以免不能真实反映出学生个人对同一道题目解答的解题思维过程；测试均为单人单座且在同一时段解答同一道题目。为了避免解题过程的紧张，充分挖掘学生的潜力，充分显现出个人的解题思维过程；首先老师对测试对象作一定说明：告诉学生这种测试不是真正的考试，只是看一看同学们在数学问题的解答思维过程有何缺陷，进一步帮助同学们早期发现问题，纠正问题，为同学们都能学好数学，助一臂之力；因此，同学们不要紧张。测试时间长短不限，为每天下午5：30分后，直至学生解答完毕或对每道题挖尽心思，绞尽脑汁解答出多少算多少。
4、两类学生解题策略研究的统计结果结果
两类学生对每一道测试题所得平均分如下直方图所示：
第一题 第二题 第三题 第四蹄 第五题 第六题 第七题 第八题 第九题 第十题
学困生所得平均分： 优秀生所得平均分：
从上图看出对每一道题的解答，学困生所得分与优秀生解答所得分差距很大；学困生所得总平均分为47.4，优秀生所得总平均分为93分，两类学生所得总平均分也有很大差距。
5、结论
综上，我们看到，两类学生的解题策略存在很大差异，这既是必然的，但又是可以改变的。
从以上对比分析可见，①优秀生具有良好的基础知识结构体系，还有较强的自主学习意识和能力。②优秀生具有良好的元认知知识，能很好的利用波利亚的解题“提示语”，在解答过程中，能自觉地接受元认知的自我监控、监察、预见、调节和评价。。而学困生在问题的解决的整个元认知过程中，不能自觉接受元认知的自我监控、监察、预见、调节和评价，表现知识零乱、无序，解答问题的思维策略机械性和呆板性，分析其成原因如下：
（1）基础知识不扎实，知识断链
即原有的认知结构中数学基础知识（概念、定义、定理、法则和问题模型）混淆、杂乱无序，出现知识“断链”。这致学困生在解题中无法辨析出所解决的问题与以前学过的、熟悉的知识或已解过的哪些题目有关，以致他们无法找到问题解决的策略，甚至一开始思维就受阻，不知从何下手，更不能拟定出解题计划。
（2）陈述性知识欠缺
学困生主要表现在陈述性方面知识的欠缺，特别是语文基础知识上的欠缺，导致无法弄清题意和理解应用题中文字符号所表述的数学意义，不知该类问题中的已知元素和未知元素为何，也就是说，在解题的元认知控制环节就出现问题，对如何入手、如何策划、如何构思、如何选择、如何组织、如何修正等做不出基本的计划和安排。
（3）学困生存在解题恐惧心理，即缺乏解题的健康心态。
在解答之后与几位学困生的访谈中了解道，“自上初中以来应用题就从没有拿到过分，题目的内容文字叙述过多，也不能理解其表述的含义，所以对应用题的解答也只不过是废点笔墨而也”，由此可知这些同学在上初中时，应用题的解答常是以失败而告终，没有或很少享受过解答应用题的成功喜悦，已经导致和形成一见到应用题就恐惧的心理，采取回避、放弃解答的消极态度与策略。
（4）思维缺乏灵活性、深刻性。
分析他们对十道数学题的解答，学困生中几乎没有一位能同时想到和给出两种以上的解答方案，这反映出学困生缺乏从多角度观察和分析问题的思维，体现出解答的机械性和呆板性，思维的定势倾向严重；以致不能选取和找到简捷的解答方案。此外，他们也难以或很少对解出的答案提出质疑，对解答过程进行回顾与评价，这说明他们缺乏思维的灵活性、深刻性。
（5）欠缺良好的解题元认知水平
从上述两类学生的解题策略分析比较得知：相对学困生而言，优秀生表现为“会解题者”，他们往往也善于“探索”、“创新”。事实上，成功的解题活动就是一个不断探索、创新并逐步明朗解题计划，也就是由原来的不那么确定的“探索”逐步转变成明确的计划，自觉的实施和进行必要的检验，这个过程主要赖于解题者的元认知能力，因此元认知水平的差异是影响数学解题能力的根本原因。[2]而学困生表现为解题的元认知水平不高，这说明两类学生的解题元认知水平存在很大差异。
（6）认知障碍
认知障碍原意潜藏于认知活动本身，与认知行为同时并存，是认知活动所无法逾越的一种障碍。由法国数学教育研究者C·Brousseau引入数学教育研究中，指学习者已有的一些知识，这些知识一方面会有进一步学习之意，是理解的基础或必经之路，另一方面因含有错误的或不够全面的成份，从而就有可能妨碍新知识建立和运用，要正确掌握和运用新知识，就必须对新旧知识之间的分岐有清楚的认识。在以上题目的解答中，学困生们大多选用化归、模型策略，套用模式，生搬硬套，这说明他（她）们认知结构中的知识大多是机械记忆获取的，很少意义理解，所以在解题中往往检索不出更优的解答策略，或题目稍变为开放题、探索题，（如第三题和第八题）他（她）就难很好完成解答。
6.提高数学学困生解题能力的建议
6.1 使优秀生更优的建议：
在以上解题过程中，优秀生体现出：中学数学基本概念清楚，基础知识牢固，具有大胆尝试，勇于探索和创新的精神；还具有良好的解题元认知和良好的思维品质。在第二题的解答过程中，也发现他们欠缺动手实际操作的学习行为习惯。
针对优秀生在解题中的表现，笔者认为促进优生更优，应注意以下几点：
（1）关注优生的人格、性格的健康发展。
影响人的性格、人格的健康发展的因素是多方面的，不仅是学校教育；但他们的人格、性格能否得到健康发展，可影响致学生的学业成绩，所以在日常教学中应关注他们的人格和性格的健康发展，不仅要搞好学习，也要学会做人。
（2）鼓励、教育优生，虽然已有较好的元认知水平，但学习是无止境的，活一生，就学一生，要不骄不燥；在提高解题能力的同时，更要注重基础知识的学习。
在学习中，优生往往过高期望自己，一心赴以难题和怪体之中，反而很少去注意概念上的细节问题；所以在教学中应注意培养好他们的解题能力外，也要点拨他们注重基础知识的学习。
（3）培养优生实际操作动手的能力
特别是对中学空间立体几何的学习，除了要具有丰富的空间想象能力外，还要具备实际操作动手的能力。
（4）他们已有较强的自主学习意识能力，要注意引导好他们的自主学习，以便进一步提高分析问题、解决问题的能力。
6.2.提高数学学困生解题能力的建议
虽然两类学生解题策略存在差异是必然的，但并非不可逆转。针对学困生在解题思维过程中出现的薄弱环节，笔者建议从以下几个方面改进学困生的解题策略，提高数学学困生的解题能力。
①疏导学困生对数学问题的恐惧心理
学生出现解题恐惧心理，主要原因之一在于学生大多都以解题失败而告终，在解题中缺乏成功的体验和喜悦，。为此，首先在平时的作业题中，老师可有意识地设计和布置一些具有梯度、有层次性的组题，让优生能吃饱，让学困生能吃好，使每一类学生都能从中获得体验解题成功的喜悦。其次，老师要关注、关爱并尊重学困生，而不要打击讽刺学困生，使学困生在解题中不断感受到自己的成功，逐步树立起学习的信心，激发出学好数学的兴趣。绝大多数学困生并非智商低下，对于他们刚燃起学习的火焰，如果我们不去关注他、扶持他，比如本来作业是独立完成的，我们确不相信他的解题能力，反而怀疑、训斥或打击他们，就会导致火焰的熄灭，这样日积月累学生自然会对数学学科产生厌学与低触情绪。在本研究中，张皋容同学的转变就是一个显著的例证，将其作为研究对象之前，平时，他很少问同学和老师数学问题，高一时，数学成绩居班上倒数第二，考试成绩最高为42分（150分制）。在实验期间，与他接触、交流得比以前多了一些，尤其是本课题的一个研究环节——书面小结中，他说：“我原以为数学老师看不起我们这些学习差的学生，只看得起学习好的同学”，为此，我故意经常性与他交谈学习方法，商讨数学问题，渐渐他消除了解题的恐惧心理，学习成绩发生了变化，并激起了学好数学的热情，并在高二上学期期末考中取得了数学成绩92分（150分制）的及格分，数学学习取得了很大的进步。
②培养学困生良好的思维品质
思维品质包括思维的广阔性、深刻性、批判性、灵活性和独创性。
从以上分析发现：学困生在解题中，思维品质方面，主要欠缺思维的深刻性、灵活性、广阔性和批判性。
思维的深刻性表现在能深入地钻研与思考问题，善于从复杂的事物中把握住它的本质，而不被一些表面现象所迷惑，特别是能在学习中克服思维的表面性，绝对化与不求甚解的毛病。要做到思维深刻性，在概念学习中应注重引导学生分清一些容易混淆的概念。在定理、公式、法则的学习中，应完整地掌握它们（包括条件、结论和适用范围），领会其精神实质，切忌形式主义、表面化和一知半解、不求甚解，如将sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ与a(b+c)=ab+bc混为一谈。 思维的广阔性表现在能多方面、多角度去思考问题，善于发现事物之间的多方面联系，找出多种解决问题的办法，并能把它推广到类似问题中去，同时，有了一种很好的方法或理论，能从多方面设想，探求这种方法或理论适用的各种问题，扩大它的应用范围。如第五题的解答学困生就没能找到更多的解答方法。
思维的灵活性表现在能对具体问题作具体分析，善于根据情况的变化，及时调整原有的思维过程与方法，灵活地运用有关定理、公式、法则，并且思维不囿于固定程式或模式，具有较强的应变能力。在日常的解题教学学中可注意用“一题多解”、“一题多变”办法去培养学生思维的灵活性。
思维的批判性表现在有主见、依据地评价事物，善于反思自己提出的假设或解题的方法是否正确和优良；喜欢独立思考，善于提出问题和发表不同的看法，既不人云亦云，也不自以为是。可从训练学生对已有解答题“质疑”，多问几个“为什么”，构造反例，驳倒似是而非的命题等方面去培养学生的思维的批判性。如第五题学困生就没能对其解答过程提出质疑。
③应用波利亚“提示语”培养学困生的元认知能力，改进学困生的解题策略
在课题研究中发现：学困生解题困难表现之一，是不会用波利亚的“提示语”。所以在解题教学中，教师要注重波利亚解题策略的运用，教会学生使用波利亚“提示语”。教师在各种数学教学中要反复经常地提出这些提示语，促使该类学生自己想出和产生一个好念头，做学生解题策略的助产士。在这样的帮助指导下，可以使学生逐渐掌握、找到各种提示语的正确方法，逐步学会使用波利亚“提示语”，在任何不同的问题情境下，尽而自己也能提出类似的问题。如果学生以各种不同的方式反复用同一个提示语诘问自己，就很容易发起类似的思维活动，从而利于形成一种积极的思维习惯，而一旦他们的元认知超越了具体对象而适用于任何问题，学生就会学到比任何具体数学知识更重要的东西。
④促进两类学生之间的学习交流，让学困生学习和借鉴优秀生的有效解题思维和策略
我们从中可看出两类学生平等相处，共同讨论问题学习，特别是一对一的讨论，对学困生的人格健康发展，学习兴趣的发展大有帮助。从平时作业完成情况和期末考试成绩分析，对两类学生开展解题策略比较研究的过程中，参加实验的几位学困生的成绩都有很大进步；因此加强两类学生的学习交流，让学困生学习和借鉴优秀生的有效解题思维和策略，是提高学困生分析和解决问题能力的有效途径之一。事实上，我们知道一个班级中学困生不止几个，教师不可能每天对他们的学习情况一一过问，而多数学困生对学习大都缺乏自觉性。如果不经常督促，他们是难于保持自觉学习的自律；因此可将一个学困生和一个优生组对搭配在一起，比如使他们座位相邻（注意：前后，左右均坐有优生和学困生，要兼顾优生更优），构成学习上的伙伴关系，以便督促学困生的学习和讨论、帮助他们理解和克服学习中的困难，将有利于促进学困生的转化。
7.后记
本研究结论对改进该地区学困生解题策略、提高分析问题和解决问题的能力具有一定理论价值。但介于测量工具的局限性和研究时间仓促、笔者水平的限制以及研究样本少、对象范围小，对学困生解题策略的共性缺陷，还有待于进一步研究。
参考文献：
[1]陶兴模 学困生学习心理障碍分析及对策研究[J] 数学教育学报 2004 5（2）P42
[2]沈南山 发掘元认知实现对波利亚解题思路的超越[J] 数学教育学报 2001 8（3）P42
A comparitive study into the strategies for solving math problems from excellent students and students with learning difficulties in
Senior Grade Two
Ranzhengqiang
( Malipo Ethnic Middle School , Wenshan , Yunnan . P.C: 663600)
Summary: In the essay, excellent students and students with learning difficulties from Senior Grade Two participate in a survey test containing ten math problems. Greater differences in strategy for solving problem have been found. They are caused by the following weak links of the students with learning difficulties in the course of solving the ten math problems: (1) The poor mastery of the elementary knowledge and the faults in their knowledge chains. (2) A lack of stated knowledge. (3) A lack of nimblenss and vastness in thinking. (4) A lack of good metacognitive level of solving problem. In accordance with the weak links of the students with learning difficulties , the following measures can be taken to improve their ability to solve problem: (1) To persuade them to overcome their fear of math problems. (2) To use Prompting Method by G. Polya to form their metacognitive ability and improve their ability to solve math problems. (3) To train their good thinking quality. (4) To reinforce the communication between the two kinds of students and encourage the students with learning difficulties to take in and draw lessons from the strong points of the excellent students.
Key words: Excellents students at math, students with learning difficulties at math, strategies for solving math problems, comparision.
附录1 数学（智力）能力测试题（时间：30分钟）
1、 如果 ，那么y=?
(A) (B) (C) 5 (D)3 (E) 15
2.
(A) (B) (C) (D) (E)
3.如果x=5y-2, 那么 3x-4=?
(A)15y+2 (B) 15y-2 (C) 15y-3 (D) 15y+10 (E)15y-10
4. 如果xyz=1,而且x=z,那么y=?
(A)1- (B) (C) 1-2x (D) (E)
5.如果 ，那么在下列数值中，n可取哪些值？
(A) –20 (B) 5 (C) 20 (D) 0 (E) 它们没有一个可取
6．如果 + = ，那么 等于下列的哪一个式？
Ⅰ.b Ⅱ.-b Ⅲ.- Ⅳ.
(A) Ⅰ或Ⅳ (B) Ⅱ或Ⅲ (C) 仅是Ⅰ (D) 仅是Ⅲ (E)Ⅲ或Ⅳ
7.如果某货船行驶第一公里的运费是25元，而且每增加1公里的运费是5元。又如果某公司租船要行驶P公里，运费是多少元？（假设P是一个整数 1）
(A) 25+P (B) 20-5P (C) 20+5P (D) 25+5P (E) 25P+5
8．偌琳有一个装满衣服的壁柜，她有8件绿色的衣服，
5件白色的衣服，3件红色的衣服，2件兰色的衣服。
因为，这间房子很暗，她看不见每件衣服的颜色，
她想取得两件同颜色的衣服，她要取多少件才能保证
其中最少两件是同颜色的呢？
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 8
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 8
9.右图中，正方形ABCD中的对角线AC和BD相交于O，
PQRS是分别联结AO，BO，CO和DO的中点所成的正方形。
PQRS与ABCD的面积的比是多少？
(A) (B) (C) (D) (E)
10．如果4个数的平均数是8，这四个数中，有三个数是3，5，和9，求第四个数。
(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 (E) 16
11．一部留声机唱片每分钟旋转 转，这个唱片在多少秒钟内旋转 ？
(A) (B) 3 (C) (D) (E) 10
12.ABCD是一个正方形， 的值是：
(A) (B) (C) (D) (E) 不能确定
13．在下面数列里，找出14后面的三个数：1，3，2，6，5，15，14， ，
， ，122，…
(A) 42，41，123 (B) 13，39，38 (C) 24，23，123
(D) 28，27，121 (E) 13，39，123
14.图中，∠PQT和∠TRS都是 ,PT=17,PQ=8,RQ=9,RS= ,求ST.
(A) 12 (B) (C) 15 (D) 25 (E)这些都不是
15．一个丹麦银币值50法郎，一个埃及磅值 丹麦银币，350个法国法郎值1美圆，多少个埃及磅值1美圆？
(A) 0.4 (B) 4 (C) (D) (E)这些都不是
16．一间百货商店有三个部分，A部分有职工900人，B部分有职工500人，C部分有职工600人，如果每部分都按比例减少职工，使这间百货商店仅有1500人。问C部分的职工应留下多少人？
(A) 400 (B) 450 (C) 480 (D)500 (E) 510
17．某人在 小时内做完某项工作的 ，按这个效率，做完这件工作需要多少时间？
(A) 1小时 (B) 小时 (C) 小时 (D) 小时 (E) 小时
18．一张长方形的面积是24平方寸，如果在这张纸上穿4个圆孔（每个圆孔的半径为 寸），这个长方形被打圆孔去掉的面积是这个长方形面积的百分之几？
(A) (B) (C) (D) (E)
19．如果，两个人每天工作2小时，2天生产2件商品，那么6个人每天工作6小时，6天生产了多少件商品？
(A) 6 (B) 18 (C) 24 (D) 36 (E) 54
20．某人在一次选举中需要 的选票才能当选，计算 选票后，他得到的选票已达到当选票的 ，问他还需要得到剩下的选票的几分之几才能当选？
(A) (B) (C) (D) (E)
